בגרות 482 קיץ 2025 מועד ב׳ – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 27

בגרות 482 · קיץ 2025 מועד ב׳ · שאלה 3

שיעור 27 – בגרות 482 קיץ 2025 מועד ב׳ – שאלה 3

פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)

1נוסח השאלה

2סעיף א – נקודות קיצון

3סעיף ב – משוואת המשיק

4סעיף ג – שטח

5סעיף ד – ערך של c

📄 נוסח השאלה

בסקיצה שלפניך מוצג גרף הפונקציה f(x) = cos(2x) + 2sin x בתחום 0 ≤ x ≤ π .

א. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) בתחום הנתון, וקבע את סוגן.

דרך נקודת המינימום הפנימית של הפונקציה f(x) העבירו משיק לגרף הפונקציה.

ב. מצא את משוואת המשיק.

ג. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי המשיק.

📄 נוסח השאלה · המשך

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π . c הוא פרמטר.

ד. כתוב ערך אחד של c שעבורו גרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה־x בארבע נקודות בדיוק.

סעיף א – נקודות קיצון

גוזרים כל איבר בנפרד:

[cos(2x)]′ = −2sin(2x)

📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)

(2sin x)′ = 2cos x

📐 נגזרת של סינוס

f′(x) = −2sin(2x) + 2cos x

משווים את הנגזרת ל־0. יש כאן זווית 2x וזווית x – כדי שנוכל להוציא גורם משותף, נפתח את sin(2x) לפי זהות הזווית הכפולה:

f′(x) = −2 · 2sin x · cos x + 2cos x

📐 סינוס של זווית כפולה

📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)

[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)

📐 נגזרת של סינוס

(sin x)′ = cos x

📐 סינוס של זווית כפולה

sin(2x) = 2 sin x · cos x

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f′(x) = −2 · 2sin x · cos x + 2cos x

📐 סינוס של זווית כפולה

f′(x) = −4sin x · cos x + 2cos x

מוציאים גורם משותף 2cos x :

f′(x) = 2cos x(1 − 2sin x)

2cos x(1 − 2sin x) = 0

📐 נקודת קיצון

מכפלה – אחד הגורמים שווה 0:

📐 מכפלה שווה 0

📐 סינוס של זווית כפולה

sin(2x) = 2 sin x · cos x

📐 נקודת קיצון

בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

📐 מכפלה שווה 0

מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

מכפלה – אחד הגורמים שווה 0:

📐 מכפלה שווה 0

cos x = 0

או

1 − 2sin x = 0

cos x = 0 – בתחום 0 ≤ x ≤ π הפתרון היחיד הוא x = π2 .

1 − 2sin x = 0 :

📐 מכפלה שווה 0

מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

1 − 2sin x = 0 :

sin x = 12

x = π6 + 2πk

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk

בתחום 0 ≤ x ≤ π (עם k = 0): x = π6 , x = 5π6 .

קביעת סוג הנקודות – יש שלוש נקודות פנימיות ושני קצוות (x = 0 , x = π). מציבים בנגזרת מספר מכל תחום.

📐 פתרון המשוואה sin x = sin a

x = a + 2πk
x = π − a + 2πk

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

קביעת סוג הנקודות – יש שלוש נקודות פנימיות ושני קצוות (x = 0 , x = π). מציבים בנגזרת מספר מכל תחום.

את המספרים מציבים ב־f′(x) = 2cos x(1 − 2sin x) (ב־π12 וב־11π12 בעזרת מחשבון):

f′(π12) ≈ 0.93 > 0

f′(π3) = 2 · 12(1 − √3) = 1 − √3 < 0

f′(2π3) = 2 · (−12)(1 − √3) = √3 − 1 > 0

f′(11π12) ≈ −0.93 < 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f′(11π12) ≈ −0.93 < 0

שיעורי ה־y – נכתוב את הפונקציה:

f(x) = cos(2x) + 2sin x

נציב x = 0 ו־x = π :

f(0) = cos(2 · 0) + 2sin 0 = 1

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f(0) = cos(2 · 0) + 2sin 0 = 1

f(π) = cos(2 · π) + 2sin π = 1

נציב x = π6 :

f(π6) = cos(2 · π6) + 2sin π6

cos π3 = 12 , sin π6 = 12

📐 ערכים מיוחדים

f(π6) = 12 + 2 · 12 = 1.5

📐 ערכים מיוחדים

cos π3 = 12
sin π6 = 12

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f(π6) = 12 + 2 · 12 = 1.5

נציב x = π2 :

f(π2) = cos(2 · π2) + 2sin π2

f(π2) = cos π + 2 · 1 = 1

נציב x = 5π6 :

f(5π6) = cos(2 · 5π6) + 2sin 5π6

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f(5π6) = cos(2 · 5π6) + 2sin 5π6

cos 5π3 = cos π3 = 12

📐 זוויות שסכומן 2π

sin 5π6 = sin π6 = 12

📐 זוויות שסכומן π

f(5π6) = 12 + 2 · 12 = 1.5

✅ פתרון סופי:
מינימום קצה (0 , 1)
מקסימום (π6 , 1.5)
מינימום (π2 , 1)
מקסימום (5π6 , 1.5)
מינימום קצה (π , 1)

📐 זוויות שסכומן 2π

cos(2π − x) = cos x

📐 זוויות שסכומן π

sin(π − x) = sin x

סעיף ב – משוואת המשיק

נקודת המינימום הפנימית היא (π2 , 1) . השיפוע של המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה, ובנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:

m = f′(π2) = 0

📐 משוואת משיק

נציב את הנקודה (π2 , 1) ואת m = 0 :

y − y₁ = m(x − x₁)

y − 1 = 0 · (x − π2)

y = 1

📐 משוואת משיק

y − y₁ = m(x − x₁)
m = f′(x₁)

סעיף ב – משוואת המשיק · המשך

y = 1

✅ פתרון סופי: y = 1

סעיף ג – שטח

המשיק y = 1 נוגע בגרף בשלוש נקודות: (0 , 1) , (π2 , 1) , (π , 1) – כל נקודות המינימום של f הן בגובה 1. לכן בכל התחום הגרף נמצא מעל המשיק, והשטח הוא מ־0 עד π :

S = ∫₀^π (f(x) − 1) dx

📐 שטח בין שני גרפים

S = ∫₀^π (cos(2x) + 2sin x − 1) dx

G(x) = 12sin(2x) − 2cos x − x

📐 פונקציה קדומה

S = G(π) − G(0)

📐 שטח בין שני גרפים

S = ∫_a^b (עליון − תחתון) dx

📐 פונקציה קדומה

∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C
∫sin x dx = −cos x + C
∫k dx = kx + C

סעיף ג – שטח · המשך

S = G(π) − G(0)

נציב את הגבול העליון x = π :

G(π) = 12sin(2π) − 2cos π − π

G(π) = 0 − 2 · (−1) − π = 2 − π

נציב את הגבול התחתון x = 0 :

G(0) = 12sin(2 · 0) − 2cos 0 − 0

סעיף ג – שטח · המשך

G(0) = 12sin(2 · 0) − 2cos 0 − 0

G(0) = 0 − 2 · 1 − 0 = −2

S = (2 − π) − (−2)

S = 4 − π ≈ 0.86

✅ פתרון סופי: S = 4 − π ≈ 0.86

סעיף ד – ערך של c

הגרף של g(x) = f(x) + c הוא הגרף של f מוזז c יחידות למעלה או למטה. הוא חותך את ציר ה־x כאשר g(x) = 0 :

f(x) + c = 0

f(x) = −c

כלומר צריך שהישר האופקי y = −c יחתוך את גרף f בארבע נקודות בדיוק.

סעיף ד – ערך של c · המשך

כלומר צריך שהישר האופקי y = −c יחתוך את גרף f בארבע נקודות בדיוק.

לפי סעיף א הגרף של f עולה מ־1 ל־1.5, יורד ל־1, עולה ל־1.5 ויורד ל־1. ישר אופקי שגובהו בין 1 ל־1.5 חותך כל אחד מארבעת החלקים פעם אחת – ארבע נקודות. (בגובה 1 בדיוק יש רק שלוש נקודות, ובגובה 1.5 בדיוק – רק שתיים.)

1 < −c < 1.5

−1.5 < c < −1

לדוגמה c = −1.2 : אז −c = 1.2 , שנמצא בין 1 ל־1.5.

סעיף ד – ערך של c · המשך

לדוגמה c = −1.2 : אז −c = 1.2 , שנמצא בין 1 ל־1.5.

✅ פתרון סופי: לדוגמה c = −1.2 (מתאים כל c שמקיים −1.5 < c < −1)

📌 סיכום התשובות

סעיף א

מינ. קצה (0 , 1)
מקס. (π6 , 1.5)
מינ. (π2 , 1)
מקס. (5π6 , 1.5)
מינ. קצה (π , 1)

סעיף ב

y = 1

סעיף ג

S = 4 − π ≈ 0.86

סעיף ד

לדוגמה c = −1.2

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא